{l}{2x+4y=362}{3x+2y=153.5}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 362 } \\ { 3 x + 2 y = 153.5 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-13.75$$

$$y=97.375$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+4y=362$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4y বাদ দিন।

$$2x=-4y+362$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+362\right)$$

\frac{1}{2} কে -4y+362 বার গুণ করুন।

$$x=-2y+181$$

অন্য সমীকরণ 3x+2y=153.5 এ x এর জন্য -2y+181 বিপরীত করু ন।

$$3\left(-2y+181\right)+2y=153.5$$

3 কে -2y+181 বার গুণ করুন।

$$-6y+543+2y=153.5$$

2y এ -6y যোগ করুন।

$$-4y+543=153.5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 543 বাদ দিন।

$$-4y=-389.5$$

-4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=97.375$$

x=-2y+181 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 97.375 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-2\times 97.375+181$$

-2 কে 97.375 বার গুণ করুন।

$$x=-194.75+181$$

-194.75 এ 181 যোগ করুন।

$$x=-13.75$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-13.75,y=97.375$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-4\times 3}&-\frac{4}{2\times 2-4\times 3}\\-\frac{3}{2\times 2-4\times 3}&\frac{2}{2\times 2-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}362\\153.5\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 362+\frac{1}{2}\times 153.5\\\frac{3}{8}\times 362-\frac{1}{4}\times 153.5\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{55}{4}\\\frac{779}{8}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+4y=362,3x+2y=153.5$$

2x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 2x+3\times 4y=3\times 362,2\times 3x+2\times 2y=2\times 153.5$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x+12y=1086,6x+4y=307$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x+12y=1086 থেকে 6x+4y=307 বাদ দিন।

$$6x-6x+12y-4y=1086-307$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$12y-4y=1086-307$$

-4y এ 12y যোগ করুন।

$$8y=1086-307$$

-307 এ 1086 যোগ করুন।

$$8y=779$$

8 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{779}{8}$$

3x+2y=153.5 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{779}{8} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+2\times \frac{779}{8}=153.5$$

2 কে \frac{779}{8} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{779}{4}=153.5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{779}{4} বাদ দিন।

$$3x=-\frac{165}{4}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{55}{4}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{55}{4},y=\frac{779}{8}$$