{l}{2x+3y=5}{7x=4y-1}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 5 } \\ { 7 x = 4 y - 1 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{17}{29}\approx 0.586206897$$

$$y = \frac{37}{29} = 1\frac{8}{29} \approx 1.275862069$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4y বিয়োগ করুন।

$$7x-4y=-1$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+3y=5,7x-4y=-1$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+3y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$2x=-3y+5$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{2} কে -3y+5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

অন্য সমীকরণ 7x-4y=-1 এ x এর জন্য \frac{-3y+5}{2} বিপরীত করু ন।

$$7\left(-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-4y=-1$$

7 কে \frac{-3y+5}{2} বার গুণ করুন।

$$-\frac{21}{2}y+\frac{35}{2}-4y=-1$$

-4y এ -\frac{21y}{2} যোগ করুন।

$$-\frac{29}{2}y+\frac{35}{2}=-1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{35}{2} বাদ দিন।

$$-\frac{29}{2}y=-\frac{37}{2}$$

-\frac{29}{2} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=\frac{37}{29}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{37}{29} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{37}{29}+\frac{5}{2}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{2} কে \frac{37}{29} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{111}{58}+\frac{5}{2}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{111}{58} এ \frac{5}{2} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{17}{29}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{17}{29},y=\frac{37}{29}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4y বিয়োগ করুন।

$$7x-4y=-1$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+3y=5,7x-4y=-1$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 7}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{2\left(-4\right)-3\times 7}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{29}\times 5+\frac{3}{29}\left(-1\right)\\\frac{7}{29}\times 5-\frac{2}{29}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{29}\\\frac{37}{29}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{17}{29},y=\frac{37}{29}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে 4y বিয়োগ করুন।

$$7x-4y=-1$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+3y=5,7x-4y=-1$$

2x এবং 7x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 7 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$7\times 2x+7\times 3y=7\times 5,2\times 7x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right)$$

সিমপ্লিফাই।

$$14x+21y=35,14x-8y=-2$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 14x+21y=35 থেকে 14x-8y=-2 বাদ দিন।

$$14x-14x+21y+8y=35+2$$

-14x এ 14x যোগ করুন। টার্ম 14x এবং -14x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$21y+8y=35+2$$

8y এ 21y যোগ করুন।

$$29y=35+2$$

2 এ 35 যোগ করুন।

$$29y=37$$

29 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{37}{29}$$

7x-4y=-1 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{37}{29} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$7x-4\times \frac{37}{29}=-1$$

-4 কে \frac{37}{29} বার গুণ করুন।

$$7x-\frac{148}{29}=-1$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{148}{29} যোগ করুন।

$$7x=\frac{119}{29}$$

7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{17}{29}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{17}{29},y=\frac{37}{29}$$