{l}{2x+2y=6}{7y-5x=11}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 6 } \\ { 7 y - 5 x = 11 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+2y=6$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$2x=-2y+6$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{2} কে -2y+6 বার গুণ করুন।

$$x=-y+3$$

অন্য সমীকরণ -5x+7y=11 এ x এর জন্য -y+3 বিপরীত করু ন।

$$-5\left(-y+3\right)+7y=11$$

-5 কে -y+3 বার গুণ করুন।

$$5y-15+7y=11$$

7y এ 5y যোগ করুন।

$$12y-15=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে 15 যোগ করুন।

$$12y=26$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{13}{6}$$

x=-y+3 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{13}{6} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{13}{6}+3$$

-\frac{13}{6} এ 3 যোগ করুন।

$$x=\frac{5}{6}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\-5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-2\left(-5\right)}&-\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{2\times 7-2\left(-5\right)}&\frac{2}{2\times 7-2\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}&-\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{24}\times 6-\frac{1}{12}\times 11\\\frac{5}{24}\times 6+\frac{1}{12}\times 11\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{13}{6}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+2y=6,-5x+7y=11$$

2x এবং -5x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -5 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$-5\times 2x-5\times 2y=-5\times 6,2\left(-5\right)x+2\times 7y=2\times 11$$

সিমপ্লিফাই।

$$-10x-10y=-30,-10x+14y=22$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -10x-10y=-30 থেকে -10x+14y=22 বাদ দিন।

$$-10x+10x-10y-14y=-30-22$$

10x এ -10x যোগ করুন। টার্ম -10x এবং 10x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-10y-14y=-30-22$$

-14y এ -10y যোগ করুন।

$$-24y=-30-22$$

-22 এ -30 যোগ করুন।

$$-24y=-52$$

-24 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{13}{6}$$

-5x+7y=11 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{13}{6} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-5x+7\times \frac{13}{6}=11$$

7 কে \frac{13}{6} বার গুণ করুন।

$$-5x+\frac{91}{6}=11$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{91}{6} বাদ দিন।

$$-5x=-\frac{25}{6}$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{5}{6}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{13}{6}$$