{l}{2x+2y=4}{3x-2y=12}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 4 } \\ { 3 x - 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{16}{5} = 3\frac{1}{5} = 3.2$$

$$y = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$2x+2y=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 2y বাদ দিন।

$$2x=-2y+4$$

2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{2}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{2} কে -2y+4 বার গুণ করুন।

$$x=-y+2$$

অন্য সমীকরণ 3x-2y=12 এ x এর জন্য -y+2 বিপরীত করু ন।

$$3\left(-y+2\right)-2y=12$$

3 কে -y+2 বার গুণ করুন।

$$-3y+6-2y=12$$

-2y এ -3y যোগ করুন।

$$-5y+6=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 6 বাদ দিন।

$$-5y=6$$

-5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{6}{5}$$

x=-y+2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{6}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\left(-\frac{6}{5}\right)+2$$

-1 কে -\frac{6}{5} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{6}{5}+2$$

\frac{6}{5} এ 2 যোগ করুন।

$$x=\frac{16}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 12\\\frac{3}{10}\times 4-\frac{1}{5}\times 12\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$2x+2y=4,3x-2y=12$$

2x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 2 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 2x+3\times 2y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 12$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x+6y=12,6x-4y=24$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x+6y=12 থেকে 6x-4y=24 বাদ দিন।

$$6x-6x+6y+4y=12-24$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$6y+4y=12-24$$

4y এ 6y যোগ করুন।

$$10y=12-24$$

-24 এ 12 যোগ করুন।

$$10y=-12$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{6}{5}$$

3x-2y=12 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{6}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x-2\left(-\frac{6}{5}\right)=12$$

-2 কে -\frac{6}{5} বার গুণ করুন।

$$3x+\frac{12}{5}=12$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{12}{5} বাদ দিন।

$$3x=\frac{48}{5}$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{16}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{16}{5},y=-\frac{6}{5}$$