{l}{12x+3y=5}{3x+2y=70}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = -\frac{40}{3} = -13\frac{1}{3} \approx -13.333333333$$

$$y=55$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$12x+3y=5$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 3y বাদ দিন।

$$12x=-3y+5$$

12 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{12} কে -3y+5 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

অন্য সমীকরণ 3x+2y=70 এ x এর জন্য -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} বিপরীত করু ন।

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=70$$

3 কে -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=70$$

2y এ -\frac{3y}{4} যোগ করুন।

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=70$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{5}{4} বাদ দিন।

$$\frac{5}{4}y=\frac{275}{4}$$

\frac{5}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=55$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 55 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{1}{4}\times 55+\frac{5}{12}$$

-\frac{1}{4} কে 55 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{55}{4}+\frac{5}{12}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{55}{4} এ \frac{5}{12} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{40}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 70\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 70\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\55\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$12x+3y=5,3x+2y=70$$

12x এবং 3x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 3 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 12 দিয়ে গুণ করুন।

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 70$$

সিমপ্লিফাই।

$$36x+9y=15,36x+24y=840$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 36x+9y=15 থেকে 36x+24y=840 বাদ দিন।

$$36x-36x+9y-24y=15-840$$

-36x এ 36x যোগ করুন। টার্ম 36x এবং -36x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$9y-24y=15-840$$

-24y এ 9y যোগ করুন।

$$-15y=15-840$$

-840 এ 15 যোগ করুন।

$$-15y=-825$$

-15 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=55$$

3x+2y=70 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 55 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$3x+2\times 55=70$$

2 কে 55 বার গুণ করুন।

$$3x+110=70$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 110 বাদ দিন।

$$3x=-40$$

3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{40}{3}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{40}{3},y=55$$