{l}{11x+5y=7}{6x+3y=21}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { 11 x + 5 y = 7 } \\ { 6 x + 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-28$$

$$y=63$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$11x+5y=7$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 5y বাদ দিন।

$$11x=-5y+7$$

11 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{11}\left(-5y+7\right)$$

\frac{1}{11} কে -5y+7 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}$$

অন্য সমীকরণ 6x+3y=21 এ x এর জন্য \frac{-5y+7}{11} বিপরীত করু ন।

$$6\left(-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11}\right)+3y=21$$

6 কে \frac{-5y+7}{11} বার গুণ করুন।

$$-\frac{30}{11}y+\frac{42}{11}+3y=21$$

3y এ -\frac{30y}{11} যোগ করুন।

$$\frac{3}{11}y+\frac{42}{11}=21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{42}{11} বাদ দিন।

$$\frac{3}{11}y=\frac{189}{11}$$

\frac{3}{11} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=63$$

x=-\frac{5}{11}y+\frac{7}{11} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 63 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{5}{11}\times 63+\frac{7}{11}$$

-\frac{5}{11} কে 63 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-315+7}{11}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{315}{11} এ \frac{7}{11} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-28$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-28,y=63$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&5\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11\times 3-5\times 6}&-\frac{5}{11\times 3-5\times 6}\\-\frac{6}{11\times 3-5\times 6}&\frac{11}{11\times 3-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{3}\\-2&\frac{11}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\21\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-\frac{5}{3}\times 21\\-2\times 7+\frac{11}{3}\times 21\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\63\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-28,y=63$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$11x+5y=7,6x+3y=21$$

11x এবং 6x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 6 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 11 দিয়ে গুণ করুন।

$$6\times 11x+6\times 5y=6\times 7,11\times 6x+11\times 3y=11\times 21$$

সিমপ্লিফাই।

$$66x+30y=42,66x+33y=231$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 66x+30y=42 থেকে 66x+33y=231 বাদ দিন।

$$66x-66x+30y-33y=42-231$$

-66x এ 66x যোগ করুন। টার্ম 66x এবং -66x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$30y-33y=42-231$$

-33y এ 30y যোগ করুন।

$$-3y=42-231$$

-231 এ 42 যোগ করুন।

$$-3y=-189$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=63$$

6x+3y=21 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 63 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$6x+3\times 63=21$$

3 কে 63 বার গুণ করুন।

$$6x+189=21$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 189 বাদ দিন।

$$6x=-168$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-28$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-28,y=63$$