{l}{-3x+y=10}{-2x+4y=0}-এর সমাধান করুন

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 10 } \\ { - 2 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-4$$

$$y=-2$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$-3x+y=10$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$-3x=-y+10$$

-3 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

-\frac{1}{3} কে -y+10 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}$$

অন্য সমীকরণ -2x+4y=0 এ x এর জন্য \frac{-10+y}{3} বিপরীত করু ন।

$$-2\left(\frac{1}{3}y-\frac{10}{3}\right)+4y=0$$

-2 কে \frac{-10+y}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=0$$

4y এ -\frac{2y}{3} যোগ করুন।

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{20}{3} বাদ দিন।

$$\frac{10}{3}y=-\frac{20}{3}$$

\frac{10}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-2$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{10}{3} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{10}{3}$$

\frac{1}{3} কে -2 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-2-10}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{2}{3} এ -\frac{10}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-4,y=-2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-3\times 4-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-4,y=-2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$-3x+y=10,-2x+4y=0$$

-3x এবং -2x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -2 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -3 দিয়ে গুণ করুন।

$$-2\left(-3\right)x-2y=-2\times 10,-3\left(-2\right)x-3\times 4y=0$$

সিমপ্লিফাই।

$$6x-2y=-20,6x-12y=0$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 6x-2y=-20 থেকে 6x-12y=0 বাদ দিন।

$$6x-6x-2y+12y=-20$$

-6x এ 6x যোগ করুন। টার্ম 6x এবং -6x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-2y+12y=-20$$

12y এ -2y যোগ করুন।

$$10y=-20$$

10 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-2$$

-2x+4y=0 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-2x+4\left(-2\right)=0$$

4 কে -2 বার গুণ করুন।

$$-2x-8=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 8 যোগ করুন।

$$-2x=8$$

-2 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-4,y=-2$$