{l}{x+1y=204}{2/3y=3/4x}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 1 y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=96$$

$$y=108$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। টার্মগুলো আবার ক্রমান্বয়ে সাজান।

$$x+y=204$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{3}{4}x বিয়োগ করুন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$x+y=204$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে y বাদ দিন।

$$x=-y+204$$

অন্য সমীকরণ -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 এ x এর জন্য -y+204 বিপরীত করু ন।

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

-\frac{3}{4} কে -y+204 বার গুণ করুন।

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

\frac{2y}{3} এ \frac{3y}{4} যোগ করুন।

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

সমীকরণের উভয় দিকে 153 যোগ করুন।

$$\frac{17}{12}y=153$$

\frac{17}{12} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=108$$

x=-y+204 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 108 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-108+204$$

-108 এ 204 যোগ করুন।

$$x=96$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=96,y=108$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। টার্মগুলো আবার ক্রমান্বয়ে সাজান।

$$x+y=204$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{3}{4}x বিয়োগ করুন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=96,y=108$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। টার্মগুলো আবার ক্রমান্বয়ে সাজান।

$$x+y=204$$

দ্বিতীয় সমীকরণটি সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে \frac{3}{4}x বিয়োগ করুন।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

x এবং -\frac{3x}{4} সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে -\frac{3}{4} দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 1 দিয়ে গুণ করুন।

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

সিমপ্লিফাই।

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 থেকে -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 বাদ দিন।

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

\frac{3x}{4} এ -\frac{3x}{4} যোগ করুন। টার্ম -\frac{3x}{4} এবং \frac{3x}{4} বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{2y}{3} এ -\frac{3y}{4} যোগ করুন।

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

-\frac{17}{12} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=108$$

-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 108 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

\frac{2}{3} কে 108 বার গুণ করুন।

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 72 বাদ দিন।

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

-\frac{3}{4} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=96$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=96,y=108$$