{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

পরিবর্ত এবং দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করার ধাপগুলো

প্রথম সমীকরণটির সরলীকরণ করুন। উভয় দিক থেকে x বিয়োগ করুন।

$$ty+2-x=0$$

উভয় দিক থেকে 2 বিয়োগ করুন। শূন্য থেকে কোনও সংখ্যাকে বিয়োগ করা যায় না৷

$$ty-x=-2$$

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

সমান চিহ্নের বাম দিকে y পৃথক করে y-এর জন্য ty-x=-2 সমাধান করুন।

$$ty-x=-2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে -x বাদ দিন।

$$ty=x-2$$

t দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

অন্য সমীকরণ x^{2}+4y^{2}=4 এ y এর জন্য \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} বিপরীত করু ন।

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} এর বর্গ

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4 কে \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2} বার গুণ করুন।

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2} এ x^{2} যোগ করুন।

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 4 বাদ দিন।

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

এই সমীকরণটি আদর্শ আকারের: ax^{2}+bx+c=0। দ্বিঘাত সূত্রে a এর জন্য 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}, b এর জন্য 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) এবং c এর জন্য \frac{16}{t^{2}}-4 বিকল্প নিন, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}৷

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) এর বর্গ

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4 কে 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}} কে \frac{16}{t^{2}}-4 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-\frac{256}{t^{4}}+16 এ \frac{256}{t^{4}} যোগ করুন।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 এর স্কোয়ার রুট নিন।

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2 কে 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} যখন ± হল যোগ৷ 4 এ \frac{16}{t^{2}} যোগ করুন।

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

4+\frac{16}{t^{2}} কে 2+\frac{8}{t^{2}} দিয়ে ভাগ করুন।

$$x=2$$

এখন সমীকরণটি সমাধান করুন x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} যখন ± হল বিয়োগ৷ \frac{16}{t^{2}} থেকে 4 বাদ দিন।

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

\frac{16}{t^{2}}-4 কে 2+\frac{8}{t^{2}} দিয়ে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x এর দুটি সমাধান আছে: 2 ও -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}। y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} সমীকরণে উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে y এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খোঁজার সমাধান করতে x এর জন্য 2 কে পরিবর্ত করুন।

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} কে 2 বার গুণ করুন।

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} সমীকরণে -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} এর জন্য x কে পরিবর্ত করুন এবং উভয় সমীকরণেই ব্যবহার করা যাবে y এর জন্য সংশ্লিষ্ট সমাধান খুঁজতে সমাধান করুন।

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} কে -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} বার গুণ করুন।

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$