{l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 8 বাদ দিন।

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

সমীকরণের উভয় দিকে by যোগ করুন।

$$ax=by-8$$

a দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} কে by-8 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

অন্য সমীকরণ bx+ay+1=0 এ x এর জন্য \frac{by-8}{a} বিপরীত করু ন।

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b কে \frac{by-8}{a} বার গুণ করুন।

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay এ \frac{b^{2}y}{a} যোগ করুন।

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1 এ -\frac{8b}{a} যোগ করুন।

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{a-8b}{a} বাদ দিন।

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

a+\frac{b^{2}}{a} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} কে \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} বার গুণ করুন।

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} এ -\frac{8}{a} যোগ করুন।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax এবং bx সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে b দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে a দিয়ে গুণ করুন।

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

সিমপ্লিফাই।

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 থেকে abx+a^{2}y+a=0 বাদ দিন।

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax এ bax যোগ করুন। টার্ম bax এবং -bax বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y এ -b^{2}y যোগ করুন।

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 8b-a বাদ দিন।

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

-b^{2}-a^{2} দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a কে -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} বার গুণ করুন।

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1 এ -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} যোগ করুন।

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} বাদ দিন।

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

b দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$