{l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$78x+40y=1280$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 40y বাদ দিন।

$$78x=-40y+1280$$

78 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} কে -40y+1280 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

অন্য সমীকরণ 120x+8y=2800 এ x এর জন্য \frac{-20y+640}{39} বিপরীত করু ন।

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

120 কে \frac{-20y+640}{39} বার গুণ করুন।

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

8y এ -\frac{800y}{13} যোগ করুন।

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{25600}{13} বাদ দিন।

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

-\frac{696}{13} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{450}{29}$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{450}{29} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{20}{39} কে -\frac{450}{29} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{3000}{377} এ \frac{640}{39} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{2120}{87}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

78x এবং 120x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 120 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 78 দিয়ে গুণ করুন।

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

সিমপ্লিফাই।

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 9360x+4800y=153600 থেকে 9360x+624y=218400 বাদ দিন।

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

-9360x এ 9360x যোগ করুন। টার্ম 9360x এবং -9360x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$4800y-624y=153600-218400$$

-624y এ 4800y যোগ করুন।

$$4176y=153600-218400$$

-218400 এ 153600 যোগ করুন।

$$4176y=-64800$$

4176 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{450}{29}$$

120x+8y=2800 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{450}{29} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

8 কে -\frac{450}{29} বার গুণ করুন।

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

সমীকরণের উভয় দিকে \frac{3600}{29} যোগ করুন।

$$120x=\frac{84800}{29}$$

120 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{2120}{87}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$