{l}{5x-3y=11}{4x-y=2}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 11 } \\ { 4 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = -\frac{34}{7} = -4\frac{6}{7} \approx -4.857142857$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$5x-3y=11$$

সমীকরণের উভয় দিকে 3y যোগ করুন।

$$5x=3y+11$$

5 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+11\right)$$

\frac{1}{5} কে 3y+11 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}$$

অন্য সমীকরণ 4x-y=2 এ x এর জন্য \frac{3y+11}{5} বিপরীত করু ন।

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{11}{5}\right)-y=2$$

4 কে \frac{3y+11}{5} বার গুণ করুন।

$$\frac{12}{5}y+\frac{44}{5}-y=2$$

-y এ \frac{12y}{5} যোগ করুন।

$$\frac{7}{5}y+\frac{44}{5}=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{44}{5} বাদ দিন।

$$\frac{7}{5}y=-\frac{34}{5}$$

\frac{7}{5} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=-\frac{34}{7}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{11}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{34}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{34}{7}\right)+\frac{11}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে \frac{3}{5} কে -\frac{34}{7} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{102}{35}+\frac{11}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{102}{35} এ \frac{11}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-\frac{5}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{4}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 11+\frac{3}{7}\times 2\\-\frac{4}{7}\times 11+\frac{5}{7}\times 2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\-\frac{34}{7}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$5x-3y=11,4x-y=2$$

5x এবং 4x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 4 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 5 দিয়ে গুণ করুন।

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y=4\times 11,5\times 4x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

সিমপ্লিফাই।

$$20x-12y=44,20x-5y=10$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 20x-12y=44 থেকে 20x-5y=10 বাদ দিন।

$$20x-20x-12y+5y=44-10$$

-20x এ 20x যোগ করুন। টার্ম 20x এবং -20x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$-12y+5y=44-10$$

5y এ -12y যোগ করুন।

$$-7y=44-10$$

-10 এ 44 যোগ করুন।

$$-7y=34$$

-7 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=-\frac{34}{7}$$

4x-y=2 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে -\frac{34}{7} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$4x-\left(-\frac{34}{7}\right)=2$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{34}{7} বাদ দিন।

$$4x=-\frac{20}{7}$$

4 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=-\frac{5}{7}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-\frac{5}{7},y=-\frac{34}{7}$$