{l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=-2$$

$$y=1$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 কে 2x+1 বার গুণ করুন।

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 কে y-3 বার গুণ করুন।

$$6x+3-5y+15=1$$

15 এ 3 যোগ করুন।

$$6x-5y+18=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 18 বাদ দিন।

$$6x-5y=-17$$

সমীকরণের উভয় দিকে 5y যোগ করুন।

$$6x=5y-17$$

6 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

\frac{1}{6} কে 5y-17 বার গুণ করুন।

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

অন্য সমীকরণ 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3 এ x এর জন্য \frac{5y-17}{6} বিপরীত করু ন।

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-1 কে \frac{5y-17}{6} বার গুণ করুন।

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

1 এ \frac{17}{6} যোগ করুন।

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 কে \frac{-5y+23}{6} বার গুণ করুন।

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 কে 2y+1 বার গুণ করুন।

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-8y এ -\frac{25y}{6} যোগ করুন।

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

-4 এ \frac{115}{6} যোগ করুন।

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{91}{6} বাদ দিন।

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

-\frac{73}{6} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 1 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=\frac{5-17}{6}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে \frac{5}{6} এ -\frac{17}{6} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=-2$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=-2,y=1$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

প্রথম সমীকরণটিকে আদর্শ রূপে পরিণত করতে প্রথমে সেটিকে সরলীকরণ করুন।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 কে 2x+1 বার গুণ করুন।

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 কে y-3 বার গুণ করুন।

$$6x+3-5y+15=1$$

15 এ 3 যোগ করুন।

$$6x-5y+18=1$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 18 বাদ দিন।

$$6x-5y=-17$$

দ্বিতীয় সমীকরণটিকে আদর্শ রূপে পরিণত করতে প্রথমে সেটিকে সরলীকরণ করুন।

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 কে -x+1 বার গুণ করুন।

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 কে 2y+1 বার গুণ করুন।

$$-5x+5-8y-4=3$$

-4 এ 5 যোগ করুন।

$$-5x-8y+1=3$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1 বাদ দিন।

$$-5x-8y=2$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=-2,y=1$$