{l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y এর জন্য সমাধান করুন

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের x পৃথক করে x-এর জন্য সমাধান করুন।

$$200x+300y=360$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 300y বাদ দিন।

$$200x=-300y+360$$

200 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} কে -300y+360 বার গুণ করুন।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

অন্য সমীকরণ 300x+200y=340 এ x এর জন্য -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} বিপরীত করু ন।

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 কে -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} বার গুণ করুন।

$$-450y+540+200y=340$$

200y এ -450y যোগ করুন।

$$-250y+540=340$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 540 বাদ দিন।

$$-250y=-200$$

-250 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

লবকে তার মানের সম পরিমাণ বার এবং হরকে তার মানের সম পরিমাণ বার গুণ করার মাধ্যমে -\frac{3}{2} কে \frac{4}{5} বার গুণ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{6}{5} এ \frac{9}{5} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$x=\frac{3}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট x এবং y বের করুন।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x এবং 300x সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 300 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 200 দিয়ে গুণ করুন।

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

সিমপ্লিফাই।

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 60000x+90000y=108000 থেকে 60000x+40000y=68000 বাদ দিন।

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

-60000x এ 60000x যোগ করুন। টার্ম 60000x এবং -60000x বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$90000y-40000y=108000-68000$$

-40000y এ 90000y যোগ করুন।

$$50000y=108000-68000$$

-68000 এ 108000 যোগ করুন।

$$50000y=40000$$

50000 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340 এ y এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে \frac{4}{5} ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি x এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 কে \frac{4}{5} বার গুণ করুন।

$$300x+160=340$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 160 বাদ দিন।

$$300x=180$$

300 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=\frac{3}{5}$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$