{l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}-এর সমাধান করুন

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, x এর জন্য সমাধান করুন

$$x=2$$

$$y=4$$

সাবসটিট্যিউশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

সাবসটিট্যিশন ব্যবহার করে এক জোড়া সমীকরণ সমাধান করতে, ভেরিয়েবলগুলোর একটির জন্য একটি সমীকরণের সমাধান করুন। তারপর অন্য সমীকরণে সেই ভেরিয়েবলের জন্য ফলাফল বিপরীত করে দিন।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

সমীকরণগুলোর মধ্যে একটি বেছে নিন এবং সমান চিহ্নের বাম দিকের y পৃথক করে y-এর জন্য সমাধান করুন।

$$150y+200x=1000$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 200x বাদ দিন।

$$150y=-200x+1000$$

150 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150} কে -200x+1000 বার গুণ করুন।

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

অন্য সমীকরণ 100y+400x=1200 এ y এর জন্য \frac{-4x+20}{3} বিপরীত করু ন।

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100 কে \frac{-4x+20}{3} বার গুণ করুন।

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

400x এ -\frac{400x}{3} যোগ করুন।

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে \frac{2000}{3} বাদ দিন।

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

\frac{800}{3} দিয়ে সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করুন, যা বিপরীত ভগ্নাংশ দ্বারা উভয় দিককে গুণ করার মতো একই।

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3} কে 2 বার গুণ করুন।

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

কমন হর খুঁজে এবং লব যোগ করার মাধ্যমে -\frac{8}{3} এ \frac{20}{3} যোগ করুন। তারপর সম্ভব হলে ভগ্নাংশটিকে ছোট টার্মে হ্রাস করুন।

$$y=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=4,x=2$$

মেট্রিক্স ব্যবহার করার ধাপগুলো

সমীকরণগুলোকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে রাখুন এবং সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের জন্য ম্যাট্রিস ব্যবহার করুন।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

ম্যাট্রিক্স ফর্মে সমীকরণগুলো লিখুন।

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা সমীকরণটির বামে গুণ করুন৷

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল এবং এর বিপরীত হল স্বরূপ ম্যাট্রিক্স।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

সমান চিহ্নের বাম দিকের মেট্রিক্সকে গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ম্যাট্রিক্সের জন্য \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), উল্টানো ম্যাট্রিক্স হল \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), তাই ম্যাট্রিক্সের সমীকরণ ম্যাট্রিক্সের গুণের সমস্যা হিসাবে আবার লেখা যেতে পারে।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

মেট্রিক্স গুণ করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

পাটিগণিত করুন।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ম্যাট্রিক্স এলিমেন্ট y এবং x বের করুন।

$$y=4,x=2$$

এলিমিনেশন ব্যবহার করার ধাপগুলো

এলিমিনেশন দ্বারা সমাধান করার জন্য, ভেরিয়েবলগুলোর একটির কোফিসিয়েন্টগুলো উভয় সমীকরণে একই হবে যাতে একটি সমীকরণ থেকে অন্য সমীকরণ বাদ দেওয়ার ভেরিয়েবল বাতিল না যায়।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y এবং 100y সমান করতে, প্রথম সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 100 দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সমীকরণের প্রতিটি পাশে থাকা সমস্ত টার্মকে 150 দিয়ে গুণ করুন।

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

সিমপ্লিফাই।

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

সমান চিহ্নের প্রতিটি পাশে টার্ম বাদ দিয়ে 15000y+20000x=100000 থেকে 15000y+60000x=180000 বাদ দিন।

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

-15000y এ 15000y যোগ করুন। টার্ম 15000y এবং -15000y বাতিল, শুধুমাত্র একটি ভ্যারিয়েবল সহ একটি সমীকরণ বাতিল করে দিন যা সমাধান করা যেতে পারে।

$$20000x-60000x=100000-180000$$

-60000x এ 20000x যোগ করুন।

$$-40000x=100000-180000$$

-180000 এ 100000 যোগ করুন।

$$-40000x=-80000$$

-40000 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$x=2$$

100y+400x=1200 এ x এর জন্য পরিবর্ত হিসাবে 2 ব্যবহার করুন। কারণ ফলাফলের সমীকরণে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, আপনি y এর জন্য সরাসরি সমাধান করতে পারেন।

$$100y+400\times 2=1200$$

400 কে 2 বার গুণ করুন।

$$100y+800=1200$$

সমীকরণের উভয় দিক থেকে 800 বাদ দিন।

$$100y=400$$

100 দিয়ে উভয় দিককে ভাগ করুন।

$$y=4$$

সিস্টেম এখন সমাধান করা হয়েছে।

$$y=4,x=2$$