Решете z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Решаване за z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Заместете z^{3} с t.

$$t^{2}-t+1=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -1 за b и 1 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Решете уравнението t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Тъй като z=t^{3}, решенията са получени чрез решаване на уравнението за всеки t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$