Решете z^3+64=0

$$z ^ { 3 } + 64 = 0$$

Решаване за z (complex solution)

$$z=-2\sqrt{3}i+2\approx 2-3,464101615i$$

$$z=-4$$

$$z=2+2\sqrt{3}i\approx 2+3,464101615i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 64, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=-4$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете z^{3}+64 на z+4, за да получите z^{2}-4z+16. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}-4z+16=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -4 за b и 16 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{4±\sqrt{-48}}{2}$$

Решете уравнението z^{2}-4z+16=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$z=-2i\sqrt{3}+2 z=2+2i\sqrt{3}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=-4 z=-2i\sqrt{3}+2 z=2+2i\sqrt{3}$$

Решаване за z

$$z=-4$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 64, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±64,±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=-4$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете z^{3}+64 на z+4, за да получите z^{2}-4z+16. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}-4z+16=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -4 за b и 16 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\times 16}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{4±\sqrt{-48}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$z\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=-4$$