Решете z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Решаване за z (complex solution)

$$z=-2-2i$$

$$z=1$$

$$z=-2+2i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=1$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете z^{3}+3z^{2}+4z-8 на z-1, за да получите z^{2}+4z+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 4 за b и 8 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Решете уравнението z^{2}+4z+8=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$z=-2-2i z=-2+2i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=1 z=-2-2i z=-2+2i$$

Решаване за z

$$z=1$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -8, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$z=1$$

Според теоремата за множителите z-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете z^{3}+3z^{2}+4z-8 на z-1, за да получите z^{2}+4z+8. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 4 за b и 8 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$z\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$z=1$$