Решете z^2+3z-30=(2z+5)(z+6)

$$z ^ { 2 } + 3 z - 30 = ( 2 z + 5 ) ( z + 6 )$$

Решаване за z

$$z=-\sqrt{11}i-7\approx -7-3,31662479i$$

$$z=-7+\sqrt{11}i\approx -7+3,31662479i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2z+5 по z+6 и да групирате подобните членове.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Извадете 2z^{2} и от двете страни.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Групирайте z^{2} и -2z^{2}, за да получите -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Извадете 17z и от двете страни.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Групирайте 3z и -17z, за да получите -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Извадете 30 и от двете страни.

$$-z^{2}-14z-30-30=0$$

Извадете 30 от -30, за да получите -60.

$$-z^{2}-14z-60=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -14 вместо b и -60 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\left(-60\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -60.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-240}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 196 с -240.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-44}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от -44.

$$z=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}$$

Сега решете уравнението z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 2i\sqrt{11}.

$$z=\frac{14+2\sqrt{11}i}{-2}$$

Разделете 14+2i\sqrt{11} на -2.

$$z=-\sqrt{11}i-7$$

Сега решете уравнението z=\frac{14±2\sqrt{11}i}{-2}, когато ± е минус. Извадете 2i\sqrt{11} от 14.

$$z=\frac{-2\sqrt{11}i+14}{-2}$$

Разделете 14-2i\sqrt{11} на -2.

$$z=-7+\sqrt{11}i$$

Уравнението сега е решено.

$$z=-\sqrt{11}i-7 z=-7+\sqrt{11}i$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2z+5 по z+6 и да групирате подобните членове.

$$z^{2}+3z-30=2z^{2}+17z+30$$

Извадете 2z^{2} и от двете страни.

$$z^{2}+3z-30-2z^{2}=17z+30$$

Групирайте z^{2} и -2z^{2}, за да получите -z^{2}.

$$-z^{2}+3z-30=17z+30$$

Извадете 17z и от двете страни.

$$-z^{2}+3z-30-17z=30$$

Групирайте 3z и -17z, за да получите -14z.

$$-z^{2}-14z-30=30$$

Добавете 30 от двете страни.

$$-z^{2}-14z=30+30$$

Съберете 30 и 30, за да се получи 60.

$$-z^{2}-14z=60$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-z^{2}-14z}{-1}=\frac{60}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$z^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)z=\frac{60}{-1}$$

Разделете -14 на -1.

$$z^{2}+14z=\frac{60}{-1}$$

Разделете 60 на -1.

$$z^{2}+14z=-60$$

Разделете 14 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите 7. След това съберете квадрата на 7 с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$z^{2}+14z+7^{2}=-60+7^{2}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$z^{2}+14z+49=-60+49$$

Съберете -60 с 49.

$$z^{2}+14z+49=-11$$

Разложете на множител z^{2}+14z+49. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+7\right)^{2}=-11$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(z+7\right)^{2}}=\sqrt{-11}$$

Опростявайте.

$$z+7=\sqrt{11}i z+7=-\sqrt{11}i$$

Извадете 7 и от двете страни на уравнението.

$$z=-7+\sqrt{11}i z=-\sqrt{11}i-7$$