Решете y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Решаване за y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-3x=2$$

Съберете 3x към двете страни на уравнението.

$$y=3x+2$$

Заместете 3x+2 вместо y в другото уравнение, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Умножете -2 по 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Съберете -6x с 7x.

$$x-4=8$$

Съберете 4 към двете страни на уравнението.

$$x=12$$

Заместете 12 вместо x в y=3x+2. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=3\times 12+2$$

Умножете 3 по 12.

$$y=36+2$$

Съберете 2 с 36.

$$y=38$$

Системата сега е решена.

$$y=38,x=12$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=38,x=12$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

За да направите y и -2y равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -2, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Опростявайте.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Извадете -2y+7x=8 от -2y+6x=-4, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Съберете -2y с 2y. Условията -2y и 2y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$6x-7x=-4-8$$

Съберете 6x с -7x.

$$-x=-4-8$$

Съберете -4 с -8.

$$-x=-12$$

Разделете двете страни на -1.

$$x=12$$

Заместете 12 вместо x в -2y+7x=8. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$-2y+7\times 12=8$$

Умножете 7 по 12.

$$-2y+84=8$$

Извадете 84 и от двете страни на уравнението.

$$-2y=-76$$

Разделете двете страни на -2.

$$y=38$$

Системата сега е решена.

$$y=38,x=12$$