Решете y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Решаване за y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете x и от двете страни.

$$y-x=5$$

Сметнете второто уравнение. Добавете x от двете страни.

$$y+x=3$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-x=5,y+x=3$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-x=5$$

Съберете x към двете страни на уравнението.

$$y=x+5$$

Заместете x+5 вместо y в другото уравнение, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Съберете x с x.

$$2x+5=3$$

Извадете 5 и от двете страни на уравнението.

$$2x=-2$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=-1$$

Заместете -1 вместо x в y=x+5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=-1+5$$

Съберете 5 с -1.

$$y=4$$

Системата сега е решена.

$$y=4,x=-1$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете x и от двете страни.

$$y-x=5$$

Сметнете второто уравнение. Добавете x от двете страни.

$$y+x=3$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-x=5,y+x=3$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=4,x=-1$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете x и от двете страни.

$$y-x=5$$

Сметнете второто уравнение. Добавете x от двете страни.

$$y+x=3$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-x=5,y+x=3$$

Извадете y+x=3 от y-x=5, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-x-x=5-3$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-x-x=5-3$$

Съберете -x с -x.

$$-2x=5-3$$

Съберете 5 с -3.

$$-2x=2$$

Разделете двете страни на -2.

$$x=-1$$

Заместете -1 вместо x в y+x=3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y-1=3$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$y=4$$

Системата сега е решена.

$$y=4,x=-1$$