Решете y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Решаване за y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=-1$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-2x=-1$$

Съберете 2x към двете страни на уравнението.

$$y=2x-1$$

Заместете 2x-1 вместо y в другото уравнение, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Съберете 2x с 2x.

$$4x-1=3$$

Съберете 1 към двете страни на уравнението.

$$4x=4$$

Разделете двете страни на 4.

$$x=1$$

Заместете 1 вместо x в y=2x-1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=2-1$$

Съберете -1 с 2.

$$y=1$$

Системата сега е решена.

$$y=1,x=1$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=-1$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=1,x=1$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=-1$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Извадете y+2x=3 от y-2x=-1, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-2x-2x=-1-3$$

Съберете -2x с -2x.

$$-4x=-1-3$$

Съберете -1 с -3.

$$-4x=-4$$

Разделете двете страни на -4.

$$x=1$$

Заместете 1 вместо x в y+2x=3. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y+2=3$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$y=1$$

Системата сега е решена.

$$y=1,x=1$$