Решете y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Решаване за y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=1$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-2x=1$$

Съберете 2x към двете страни на уравнението.

$$y=2x+1$$

Заместете 2x+1 вместо y в другото уравнение, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Съберете 2x с x.

$$3x+1=7$$

Извадете 1 и от двете страни на уравнението.

$$3x=6$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=2$$

Заместете 2 вместо x в y=2x+1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=2\times 2+1$$

Умножете 2 по 2.

$$y=4+1$$

Съберете 1 с 4.

$$y=5$$

Системата сега е решена.

$$y=5,x=2$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=1$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=5,x=2$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=1$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Извадете y+x=7 от y-2x=1, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-2x-x=1-7$$

Съберете -2x с -x.

$$-3x=1-7$$

Съберете 1 с -7.

$$-3x=-6$$

Разделете двете страни на -3.

$$x=2$$

Заместете 2 вместо x в y+x=7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y+2=7$$

Извадете 2 и от двете страни на уравнението.

$$y=5$$

Системата сега е решена.

$$y=5,x=2$$