Решете y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Решаване за y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{4}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Сметнете второто уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=8$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Съберете \frac{4x}{3} към двете страни на уравнението.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Заместете \frac{-28+4x}{3} вместо y в другото уравнение, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Съберете \frac{4x}{3} с -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Съберете \frac{28}{3} към двете страни на уравнението.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{2}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$x=-26$$

Заместете -26 вместо x в y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Умножете \frac{4}{3} по -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Съберете -\frac{28}{3} и -\frac{104}{3}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$y=-44$$

Системата сега е решена.

$$y=-44,x=-26$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{4}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Сметнете второто уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=8$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=-44,x=-26$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{4}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Сметнете второто уравнение. Извадете 2x и от двете страни.

$$y-2x=8$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Извадете y-2x=8 от y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Съберете -\frac{4x}{3} с 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Съберете -\frac{28}{3} с -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{2}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$x=-26$$

Заместете -26 вместо x в y-2x=8. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Умножете -2 по -26.

$$y+52=8$$

Извадете 52 и от двете страни на уравнението.

$$y=-44$$

Системата сега е решена.

$$y=-44,x=-26$$