Решете y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Решаване за y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Стъпки с използване на субституция

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{1}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 3x от двете страни.

$$y+3x=60$$

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Изберете едно от уравненията и го решете за y чрез изолиране на y от лявата страна на равенството.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Съберете \frac{x}{3} към двете страни на уравнението.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Заместете \frac{x}{3} вместо y в другото уравнение, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Съберете \frac{x}{3} с 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Разделете двете страни на уравнението на \frac{10}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$x=18$$

Заместете 18 вместо x в y=\frac{1}{3}x. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Умножете \frac{1}{3} по 18.

$$y=6$$

Системата сега е решена.

$$y=6,x=18$$

Стъпки с използване на матрици

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{1}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 3x от двете страни.

$$y+3x=60$$

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата y and x.

$$y=6,x=18$$

Стъпки за използване на елиминиране

Сметнете първото уравнение. Извадете \frac{1}{3}x и от двете страни.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Сметнете второто уравнение. Добавете 3x от двете страни.

$$y+3x=60$$

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Извадете y+3x=60 от y-\frac{1}{3}x=0, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Съберете y с -y. Условията y и -y се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Съберете -\frac{x}{3} с -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Разделете двете страни на уравнението на -\frac{10}{3}, което е същото като умножаване на двете страни по обратната стойност на дробта.

$$x=18$$

Заместете 18 вместо x в y+3x=60. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за y директно.

$$y+3\times 18=60$$

Умножете 3 по 18.

$$y+54=60$$

Извадете 54 и от двете страни на уравнението.

$$y=6$$

Системата сега е решена.

$$y=6,x=18$$