Решете x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Решаване за x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Добавете 16x^{2} от двете страни.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Извадете 81x и от двете страни.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Групирайте x и -81x, за да получите -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Извадете 5 и от двете страни.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 16 вместо a, -80 вместо b и -5 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Повдигане на квадрат на -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -4 по 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Умножете -64 по -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Съберете 6400 с 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Получете корен квадратен от 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Противоположното на -80 е 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Умножете 2 по 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Сега решете уравнението x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, когато ± е плюс. Съберете 80 с 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Разделете 80+8\sqrt{105} на 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}, когато ± е минус. Извадете 8\sqrt{105} от 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Разделете 80-8\sqrt{105} на 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Добавете 16x^{2} от двете страни.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Извадете 81x и от двете страни.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Групирайте x и -81x, за да получите -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Разделете двете страни на 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Делението на 16 отменя умножението по 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Разделете -80 на 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Разделете -5 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{5}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{5}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{5}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Съберете \frac{5}{16} и \frac{25}{4}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Съберете \frac{5}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$