Решете x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

Стъпки на решението

Сметнете \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Умножението може да бъде преобразувано в разлика на квадрати с помощта на правилото: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Повдигане на квадрат на 3.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Разложете \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Изчислявате 2 на степен 2 и получавате 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Извадете \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} и от двете страни.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Разложете на множители 4x^{2}-16x+15.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

За да съберете или извадите изрази, приведете ги към общ знаменател. Умножете x по \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Тъй като \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} и \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} имат един и същ знаменател, извадете ги, като извадите техните числители.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Извършете умноженията в x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Обединете подобните членове в 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите \frac{3}{2},\frac{5}{2}, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 9, а q разделя водещия коефициент 4. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=\frac{3}{2}$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 на 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3, за да получите 2x^{2}-7x-3. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, -7 за b и -3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Решете уравнението 2x^{2}-7x-3=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Премахване на стойностите, на които не може да е равна променливата.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Променливата x не може да бъде равна на \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$