Решете x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Решаване за x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x-y=5$$

Съберете y към двете страни на уравнението.

$$x=y+5$$

Заместете y+5 вместо x в другото уравнение, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Умножете -4 по y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Съберете -4y с 5y.

$$y-20=7$$

Съберете 20 към двете страни на уравнението.

$$y=27$$

Заместете 27 вместо y в x=y+5. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=27+5$$

Съберете 5 с 27.

$$x=32$$

Системата сега е решена.

$$x=32,y=27$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=32,y=27$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

За да направите x и -4x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по -4, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Опростявайте.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Извадете -4x+5y=7 от -4x+4y=-20, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Съберете -4x с 4x. Условията -4x и 4x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$4y-5y=-20-7$$

Съберете 4y с -5y.

$$-y=-20-7$$

Съберете -20 с -7.

$$-y=-27$$

Разделете двете страни на -1.

$$y=27$$

Заместете 27 вместо y в -4x+5y=7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$-4x+5\times 27=7$$

Умножете 5 по 27.

$$-4x+135=7$$

Извадете 135 и от двете страни на уравнението.

$$-4x=-128$$

Разделете двете страни на -4.

$$x=32$$

Системата сега е решена.

$$x=32,y=27$$