Решете x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Решаване за x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x-3y=7$$

Съберете 3y към двете страни на уравнението.

$$x=3y+7$$

Заместете 3y+7 вместо x в другото уравнение, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Умножете 3 по 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Съберете 9y с 3y.

$$12y+21=9$$

Извадете 21 и от двете страни на уравнението.

$$12y=-12$$

Разделете двете страни на 12.

$$y=-1$$

Заместете -1 вместо y в x=3y+7. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Умножете 3 по -1.

$$x=-3+7$$

Съберете 7 с -3.

$$x=4$$

Системата сега е решена.

$$x=4,y=-1$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=4,y=-1$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

За да направите x и 3x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 3, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Опростявайте.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Извадете 3x+3y=9 от 3x-9y=21, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Съберете 3x с -3x. Условията 3x и -3x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$-9y-3y=21-9$$

Съберете -9y с -3y.

$$-12y=21-9$$

Съберете 21 с -9.

$$-12y=12$$

Разделете двете страни на -12.

$$y=-1$$

Заместете -1 вместо y в 3x+3y=9. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Умножете 3 по -1.

$$3x-3=9$$

Съберете 3 към двете страни на уравнението.

$$3x=12$$

Разделете двете страни на 3.

$$x=4$$

Системата сега е решена.

$$x=4,y=-1$$