Решете x(x-8)(x-4)^2=225

$$x ( x - 8 ) ( x - 4 ) ^ { 2 } = 225$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=9$$

$$x=4-3i$$

$$x=4+3i$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-4\right)^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-8x по x^{2}-8x+16 и да групирате подобните членове.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Извадете 225 и от двете страни.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -225, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 на x+1, за да получите x^{3}-17x^{2}+97x-225. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -225, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=9$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-17x^{2}+97x-225 на x-9, за да получите x^{2}-8x+25. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -8 за b и 25 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-8x+25=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=4-3i x=4+3i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=9 x=4-3i x=4+3i$$

Решаване за x

$$x=9$$

$$x=-1$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-4\right)^{2}.

$$x\left(x-8\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x-8.

$$\left(x^{2}-8x\right)\left(x^{2}-8x+16\right)=225$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}-8x по x^{2}-8x+16 и да групирате подобните членове.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x=225$$

Извадете 225 и от двете страни.

$$x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -225, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-16x^{3}+80x^{2}-128x-225 на x+1, за да получите x^{3}-17x^{2}+97x-225. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-17x^{2}+97x-225=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -225, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±225,±75,±45,±25,±15,±9,±5,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=9$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-17x^{2}+97x-225 на x-9, за да получите x^{2}-8x+25. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-8x+25=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -8 за b и 25 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 1\times 25}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{8±\sqrt{-36}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=9$$