Решете x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Решаване за x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Групирайте 2x и 2x, за да получите 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Извадете 6 и от двете страни.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Извадете 6 от -1, за да получите -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-7. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -21 на продукта.

$$-1,21 -3,7$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Решението е двойката, която дава сума 4.

$$a=-3 b=7$$

Напишете 3x^{2}+4x-7 като \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Фактор, 3x в първата и 7 във втората група.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Разложете на множители общия член x-1, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-1=0 и 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Групирайте 2x и 2x, за да получите 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Извадете 6 и от двете страни.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Извадете 6 от -1, за да получите -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 3 вместо a, 4 вместо b и -7 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Повдигане на квадрат на 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -4 по 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Умножете -12 по -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Съберете 16 с 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Получете корен квадратен от 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Умножете 2 по 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±10}{6}, когато ± е плюс. Съберете -4 с 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Разделете 6 на 6.

$$x=1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-4±10}{6}, когато ± е минус. Извадете 10 от -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-14}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението по 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2x по 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}-2x+1, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Групирайте 4x^{2} и -x^{2}, за да получите 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Групирайте 2x и 2x, за да получите 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Добавете 1 от двете страни.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Съберете 6 и 1, за да се получи 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Разделете двете страни на 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Делението на 3 отменя умножението по 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Разделете \frac{4}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{2}{3}. След това съберете квадрата на \frac{2}{3} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{2}{3}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Съберете \frac{7}{3} и \frac{4}{9}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Разложете на множител x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Извадете \frac{2}{3} и от двете страни на уравнението.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$