Решете x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4

$$x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 8 x - 4$$

Разлагане на множители

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4 на x-1, за да получите x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4 на x+1, за да получите x^{3}+5x^{2}+8x+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{3}+5x^{2}+8x+4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+5x^{2}+8x+4 на x+1, за да получите x^{2}+4x+4. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}+4x+4=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 4 за b и 4 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-4±0}{2}$$

Решенията са еднакви.

$$x=-2$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Изчисляване

$$\left(x-1\right)\left(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}$$