Решете x^4-x^2-12

$$x ^ { 4 } - x ^ { 2 } - 12$$

Разлагане на множители

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Стъпки на решението

За да възложите израза, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{4}-x^{2}-12=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -12, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-x^{2}-12 на x-2, за да получите x^{3}+2x^{2}+3x+6. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{3}+2x^{2}+3x+6=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 6, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+2x^{2}+3x+6 на x+2, за да получите x^{2}+3. За да възложите резултата, решете уравнението, където то е равно на 0.

$$x^{2}+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 0 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{0±\sqrt{-12}}{2}$$

Полиномът x^{2}+3 не е разложен на множители, тъй като няма рационални корени.

$$x^{2}+3$$

Пренапишете разложения на множители израз с помощта на получените корени.

$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+3\right)$$

Изчисляване

$$x^{4}-x^{2}-12$$