Решете x^4-5x^3+10x^2-10x+4=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } - 10 x + 4 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=1$$

$$x=2$$

$$x=1-i$$

$$x=1+i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 на x-1, за да получите x^{3}-4x^{2}+6x-4. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-4x^{2}+6x-4 на x-2, за да получите x^{2}-2x+2. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -2 за b и 2 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-2x+2=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=1-i x=1+i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=2 x=1-i x=1+i$$

Решаване за x

$$x=1$$

$$x=2$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-5x^{3}+10x^{2}-10x+4 на x-1, за да получите x^{3}-4x^{2}+6x-4. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-4x^{2}+6x-4=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -4, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-4x^{2}+6x-4 на x-2, за да получите x^{2}-2x+2. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-2x+2=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -2 за b и 2 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-4}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=2$$