Решете x^4-3x^3-x^2-3x+18=0

$$x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 18 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=2$$

$$x=3$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 18, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 на x-2, за да получите x^{3}-x^{2}-3x-9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-x^{2}-3x-9 на x-3, за да получите x^{2}+2x+3. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 2 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+2x+3=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=2 x=3 x=-\sqrt{2}i-1 x=-1+\sqrt{2}i$$

Решаване за x

$$x=2$$

$$x=3$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 18, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±18,±9,±6,±3,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-3x^{3}-x^{2}-3x+18 на x-2, за да получите x^{3}-x^{2}-3x-9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}-x^{2}-3x-9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-x^{2}-3x-9 на x-3, за да получите x^{2}+2x+3. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 2 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=2 x=3$$