Решете x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Добавете 12x от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, за да получите x^{3}+x^{2}-3x+9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, за да получите x^{2}-2x+3. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -2 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}-2x+3=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Решаване за x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Стъпки на решението

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Извадете 4x^{2} и от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Добавете 12x от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Извадете 9 и от двете страни.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}-4x^{2}+12x-9 на x-1, за да получите x^{3}+x^{2}-3x+9. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 9, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-3$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+x^{2}-3x+9 на x+3, за да получите x^{2}-2x+3. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, -2 за b и 3 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=1 x=-3$$