Решете x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Разлагане на множители

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 40, а q разделя водещия коефициент 1. Един такъв корен е -5. Разложете полинома на множители, като го разделите с x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Сметнете x^{3}+x^{2}-10x+8. По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член 8, а q разделя водещия коефициент 1. Един такъв корен е -4. Разложете полинома на множители, като го разделите с x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Сметнете x^{2}-3x+2. Фактор на израза по групи. Първо, изразът трябва да бъде пренаписан като x^{2}+ax+bx+2. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е отрицателен, a и b са отрицателни. Единствената такава двойка е системното решение.

$$a=-2 b=-1$$

Напишете x^{2}-3x+2 като \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Фактор, x в първата и -1 във втората група.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Разложете на множители общия член x-2, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Пренапишете пълния разложен на множители израз.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Изчисляване

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$