Решете x^3-343=0

$$x ^ { 3 } - 343 = 0$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-7\sqrt{3}i-7}{2}\approx -3,5-6,062177826i$$

$$x=7$$

$$x=\frac{-7+7\sqrt{3}i}{2}\approx -3,5+6,062177826i$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -343, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±343,±49,±7,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=7$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-343 на x-7, за да получите x^{2}+7x+49. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+49=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 49 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 49}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-147}}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+7x+49=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{-7i\sqrt{3}-7}{2} x=\frac{-7+7i\sqrt{3}}{2}$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=7 x=\frac{-7i\sqrt{3}-7}{2} x=\frac{-7+7i\sqrt{3}}{2}$$

Решаване за x

$$x=7$$

Стъпки на решението

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -343, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±343,±49,±7,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=7$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}-343 на x-7, за да получите x^{2}+7x+49. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+49=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 49 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 49}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-147}}{2}$$

Тъй като квадратният корен на отрицателно число не е дефиниран за реални числа, няма решения.

$$x\in \emptyset$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=7$$