Решете x^2+4x-11<-36x-x^2

$$x ^ { 2 } + 4 x - 11 < - 36 x - x ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Добавете 36x от двете страни.

$$x^{2}+4x-11+36x<-x^{2}$$

Групирайте 4x и 36x, за да получите 40x.

$$x^{2}+40x-11<-x^{2}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$x^{2}+40x-11+x^{2}<0$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+40x-11<0$$

За да решите неравенството, разложете на множители лявата страна. Квадратен полином може да се разложи на множители, като се използва трансформацията ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), където x_{1} и x_{2} са решенията на квадратното уравнение ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+40x-11=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 2 за a, 40 за b и -11 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-40±\sqrt{40^{2}-4\times 2\left(-11\right)}}{2\times 2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}$$

Решете уравнението x=\frac{-40±2\sqrt{422}}{4}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=\frac{\sqrt{422}}{2}-10 x=-\frac{\sqrt{422}}{2}-10$$

Напишете отново неравенство с помощта на получените решения.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)\right)<0$$

За да бъде произведението отрицателно, x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) и x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) трябва да бъдат с противоположни знаци. Разгледайте случая, когато x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) е положително, а x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) е отрицателно.

$$x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Това е невярно за всяко x.

$$x\in \emptyset$$

Разгледайте случая, когато x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) е положително, а x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right) е отрицателно.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)<0$$

Решението, удовлетворяващо и двете неравенства, е x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$

Крайното решение е обединението на получените решения.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{422}}{2}-10,\frac{\sqrt{422}}{2}-10\right)$$