Решете x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

Решаване за x

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

Стъпки на решението

Променливата x не може да бъде равна на никоя от стойностите -3,0, тъй като делението на нула не е дефинирано. Умножете и двете страни на уравнението по x\left(x+3\right).

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x по x+3.

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите x^{2}+3x по x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Умножете x по x, за да получите x^{2}.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3x^{2} по x+3.

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Групирайте 3x^{3} и 3x^{3}, за да получите 6x^{3}.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 8x по x+3.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

Извадете 8x^{2} и от двете страни.

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

Групирайте 9x^{2} и -8x^{2}, за да получите x^{2}.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

Извадете 24x и от двете страни.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

Преобразувайте уравнението в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -20, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=-1$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 на x+1, за да получите x^{3}+5x^{2}-4x-20. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

По теоремата за рационални коренни всички рационални корени на полинома са във формата \frac{p}{q}, където p разделя постоянния член -20, а q разделя водещия коефициент 1. Изредете всички възможности \frac{p}{q}.

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Намерете един такъв корен, като изпробвате всички целочислени стойности, започвайки от най-малката по абсолютна стойност. Ако не намерите целочислени корени, изпробвайте дробите.

$$x=2$$

Според теоремата за множителите x-k е множител на полинома за всеки корен k. Разделете x^{3}+5x^{2}-4x-20 на x-2, за да получите x^{2}+7x+10. Решаване на уравнението, където резултатът е равен на 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете 1 за a, 7 за b и 10 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Извършете изчисленията.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Решете уравнението x^{2}+7x+10=0, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$x=-5 x=-2$$

Изброяване на всички намерени решения.

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$