Решете x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Решаване за x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Стъпки на решението

Извадете x^{2}+11 и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

За да намерите противоположната стойност на x^{2}+11, намерете противоположната стойност на всеки член.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Извадете 11 от 42, за да получите 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{x^{2}+11} и получавате x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Извадете 961 и от двете страни.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Извадете 961 от 11, за да получите -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Добавете 62x^{2} от двете страни.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Групирайте x^{2} и 62x^{2}, за да получите 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Заместете x^{2} с t.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Всички уравнения от вида ax^{2}+bx+c=0 могат да бъдат решени чрез формулата за решаване на квадратно уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Заместете -1 за a, 63 за b и -950 за c във формулата за решаване на квадратно уравнение.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Извършете изчисленията.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Решете уравнението t=\frac{-63±13}{-2}, когато ± е плюс и когато ± е минус.

$$t=25 t=38$$

Тъй като x=t^{2}, решенията са получени чрез оценяване на x=±\sqrt{t} за всеки t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Заместете 5 вместо x в уравнението x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Опростявайте. Стойността x=5 отговаря на уравнението.

$$42=42$$

Заместете -5 вместо x в уравнението x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Опростявайте. Стойността x=-5 отговаря на уравнението.

$$42=42$$

Заместете \sqrt{38} вместо x в уравнението x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Опростявайте. Стойността x=\sqrt{38} не отговаря на уравнението.

$$56=42$$

Заместете -\sqrt{38} вместо x в уравнението x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Опростявайте. Стойността x=-\sqrt{38} не отговаря на уравнението.

$$56=42$$

Изброяване на всички решения на \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$