Решете x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да умножите степени с една и съща основа, съберете техните експоненти. Съберете 2 и 1, за да получите 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Съберете 10 и 1, за да се получи 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Групирайте 2x и 12x, за да получите 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Съберете 11 и 9, за да се получи 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете 20 и от двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Групирайте x^{4} и -x^{4}, за да получите 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Добавете 4x^{3} от двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Групирайте -4x^{3} и 4x^{3}, за да получите 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като 3x^{2}+ax+bx-10. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е отрицателно, отрицателното число има по-голяма абсолютна стойност от положителното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -30 на продукта.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Решението е двойката, която дава сума -7.

$$a=-10 b=3$$

Напишете 3x^{2}-7x-10 като \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

Разложете на множители x в 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

Разложете на множители общия член 3x-10, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 3x-10=0 и x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да умножите степени с една и съща основа, съберете техните експоненти. Съберете 2 и 1, за да получите 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Съберете 10 и 1, за да се получи 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Групирайте 2x и 12x, за да получите 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Съберете 11 и 9, за да се получи 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете 20 и от двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

Групирайте x^{4} и -x^{4}, за да получите 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

Добавете 4x^{3} от двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

Групирайте -4x^{3} и 4x^{3}, за да получите 0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 6 вместо a, -14 вместо b и -20 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Повдигане на квадрат на -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -4 по 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

Умножете -24 по -20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

Съберете 196 с 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

Получете корен квадратен от 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

Противоположното на -14 е 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

Умножете 2 по 6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±26}{12}, когато ± е плюс. Съберете 14 с 26.

$$x=\frac{40}{12}$$

Намаляване на дробта \frac{40}{12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

Сега решете уравнението x=\frac{14±26}{12}, когато ± е минус. Извадете 26 от 14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Разделете -12 на 12.

$$x=-1$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да повдигнете едно число, повдигнато на степен, на друга степен, умножете експонентите. Умножете 2 по 2, за да получите 4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

За да умножите степени с една и съща основа, съберете техните експоненти. Съберете 2 и 1, за да получите 3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Групирайте x^{2} и 4x^{2}, за да получите 5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Съберете 10 и 1, за да се получи 11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

Повдигане на квадрат на x^{2}-2x-3.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

Групирайте x^{2} и -2x^{2}, за да получите -x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

Групирайте 2x и 12x, за да получите 14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

Съберете 11 и 9, за да се получи 20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Добавете x^{2} от двете страни.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Групирайте 5x^{2} и x^{2}, за да получите 6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

Извадете x^{4} и от двете страни.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

Групирайте x^{4} и -x^{4}, за да получите 0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

Добавете 4x^{3} от двете страни.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

Групирайте -4x^{3} и 4x^{3}, за да получите 0.

$$6x^{2}-14x=20$$

Разделете двете страни на 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

Делението на 6 отменя умножението по 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{-14}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

Намаляване на дробта \frac{20}{6} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

Разделете -\frac{7}{3} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{6}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{6} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{6}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

Съберете \frac{10}{3} и \frac{49}{36}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

Съберете \frac{7}{6} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$