Решете x^2+(x+1)^2=365

$$x ^ { 2 } + ( x + 1 ) ^ { 2 } = 365$$

Решаване за x

$$x=-14$$

$$x=13$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Извадете 365 и от двете страни.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Извадете 365 от 1, за да получите -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Разделете двете страни на 2.

$$x^{2}+x-182=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като x^{2}+ax+bx-182. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=1 ab=1\left(-182\right)=-182$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -182 на продукта.

$$-1,182 -2,91 -7,26 -13,14$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+182=181 -2+91=89 -7+26=19 -13+14=1$$

Решението е двойката, която дава сума 1.

$$a=-13 b=14$$

Напишете x^{2}+x-182 като \left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right)$$

Фактор, x в първата и 14 във втората група.

$$x\left(x-13\right)+14\left(x-13\right)$$

Разложете на множители общия член x-13, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-13\right)\left(x+14\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-13=0 и x+14=0.

$$x=13 x=-14$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Извадете 365 и от двете страни.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Извадете 365 от 1, за да получите -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете 2 вместо a, 2 вместо b и -364 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Повдигане на квадрат на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -4 по 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Умножете -8 по -364.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2912}}{2\times 2}$$

Съберете 4 с 2912.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2916}}{2\times 2}$$

Получете корен квадратен от 2916.

$$x=\frac{-2±54}{2\times 2}$$

Умножете 2 по 2.

$$x=\frac{-2±54}{4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±54}{4}, когато ± е плюс. Съберете -2 с 54.

$$x=\frac{52}{4}$$

Разделете 52 на 4.

$$x=13$$

Сега решете уравнението x=\frac{-2±54}{4}, когато ± е минус. Извадете 54 от -2.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Разделете -56 на 4.

$$x=-14$$

Уравнението сега е решено.

$$x=13 x=-14$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Групирайте x^{2} и x^{2}, за да получите 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$2x^{2}+2x=365-1$$

Извадете 1 от 365, за да получите 364.

$$2x^{2}+2x=364$$

Разделете двете страни на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{364}{2}$$

Делението на 2 отменя умножението по 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{364}{2}$$

Разделете 2 на 2.

$$x^{2}+x=\frac{364}{2}$$

Разделете 364 на 2.

$$x^{2}+x=182$$

Разделете 1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{1}{2}. След това съберете квадрата на \frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=182+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=182+\frac{1}{4}$$

Съберете 182 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{729}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{27}{2}$$

Извадете \frac{1}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=13 x=-14$$