Решете x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Решаване за x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x+3y=6$$

Извадете 3y и от двете страни на уравнението.

$$x=-3y+6$$

Заместете -3y+6 вместо x в другото уравнение, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Умножете 5 по -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Съберете -15y с -2y.

$$-17y+30=13$$

Извадете 30 и от двете страни на уравнението.

$$-17y=-17$$

Разделете двете страни на -17.

$$y=1$$

Заместете 1 вместо y в x=-3y+6. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-3+6$$

Съберете 6 с -3.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=1$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=3,y=1$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

За да направите x и 5x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 5, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Опростявайте.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Извадете 5x-2y=13 от 5x+15y=30, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Съберете 5x с -5x. Условията 5x и -5x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$15y+2y=30-13$$

Съберете 15y с 2y.

$$17y=30-13$$

Съберете 30 с -13.

$$17y=17$$

Разделете двете страни на 17.

$$y=1$$

Заместете 1 вместо y в 5x-2y=13. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$5x-2=13$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$5x=15$$

Разделете двете страни на 5.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=1$$