Решете x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Решаване за x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Стъпки с използване на субституция

За да решите двойка уравнения чрез субституция, първо решете едно от уравненията за една от променливите. След това заместете резултата за тази променлива в другото уравнение.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Изберете едно от уравненията и го решете за x чрез изолиране на x от лявата страна на равенството.

$$x+2y=-1$$

Извадете 2y и от двете страни на уравнението.

$$x=-2y-1$$

Заместете -2y-1 вместо x в другото уравнение, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Умножете 2 по -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Съберете -4y с -3y.

$$-7y-2=12$$

Съберете 2 към двете страни на уравнението.

$$-7y=14$$

Разделете двете страни на -7.

$$y=-2$$

Заместете -2 вместо y в x=-2y-1. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Умножете -2 по -2.

$$x=4-1$$

Съберете -1 с 4.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=-2$$

Стъпки с използване на матрици

Приведете уравненията в стандартна форма и след това използвайте матрици за решаване на системата уравнения.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Напишете уравненията в матрични форма.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете лявата страна на уравнението с обратната матрица на \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Произведението на една матрица с нейната обратна е единична матрица.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците от лявата страна на знака за равенство.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

За матрицата 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), обратната матрица е \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), така че матричното уравнение може да се пренапише като задача с умножение на матрици.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Умножете матриците.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Направете сметките.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Извлечете елементите на матрицата x and y.

$$x=3,y=-2$$

Стъпки за използване на елиминиране

За да се реши чрез елиминиране, коефициентите на една от променливите трябва да е една и съща в двете уравнения, така че променливата ще отпадне, когато едното уравнение се извади от другото.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

За да направите x и 2x равни, умножете всички членове от двете страни на първото уравнение по 2, а всички членове от двете страни на второто по 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Опростявайте.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Извадете 2x-3y=12 от 2x+4y=-2, като извадите подобните членове от двете страни на равенството.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Съберете 2x с -2x. Условията 2x и -2x се отказват, като напуснете уравнение само с една променлива, която може да бъде разрешена.

$$4y+3y=-2-12$$

Съберете 4y с 3y.

$$7y=-2-12$$

Съберете -2 с -12.

$$7y=-14$$

Разделете двете страни на 7.

$$y=-2$$

Заместете -2 вместо y в 2x-3y=12. Тъй като полученото уравнение съдържа само една променлива, можете да решавате за x директно.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Умножете -3 по -2.

$$2x+6=12$$

Извадете 6 и от двете страни на уравнението.

$$2x=6$$

Разделете двете страни на 2.

$$x=3$$

Системата сега е решена.

$$x=3,y=-2$$