Решете x+2(-x^2+3x+6)-3=0

$$x + 2 ( - x ^ { 2 } + 3 x + 6 ) - 3 = 0$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Групирайте x и 6x, за да получите 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Извадете 3 от 12, за да получите 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Умножете 2 по -1, за да получите -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -2x^{2}+ax+bx+9. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=7 ab=-2\times 9=-18$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -18 на продукта.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Решението е двойката, която дава сума 7.

$$a=9 b=-2$$

Напишете -2x^{2}+7x+9 като \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(2x-9\right)-\left(2x-9\right)$$

Разложете на множители общия член 2x-9, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 2x-9=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Групирайте x и 6x, за да получите 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Извадете 3 от 12, за да получите 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Умножете 2 по -1, за да получите -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -2 вместо a, 7 вместо b и 9 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Повдигане на квадрат на 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете -4 по -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 8 по 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\left(-2\right)}$$

Съберете 49 с 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Получете корен квадратен от 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\left(-2\right)}$$

Умножете 2 по -2.

$$x=\frac{-7±11}{-4}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±11}{-4}, когато ± е плюс. Съберете -7 с 11.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Разделете 4 на -4.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-7±11}{-4}, когато ± е минус. Извадете 11 от -7.

$$x=-\frac{18}{-4}$$

Намаляване на дробта \frac{-18}{-4} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=\frac{9}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 2 по -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Групирайте x и 6x, за да получите 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Извадете 3 от 12, за да получите 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Извадете 9 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)=-9$$

Умножете 2 по -1, за да получите -2.

$$7x-2x^{2}=-9$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=-9$$

Разделете двете страни на -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=-\frac{9}{-2}$$

Делението на -2 отменя умножението по -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=-\frac{9}{-2}$$

Разделете 7 на -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{9}{-2}$$

Разделете -9 на -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{2}$$

Разделете -\frac{7}{2} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{7}{4}. След това съберете квадрата на -\frac{7}{4} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{7}{4}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{2}+\frac{49}{16}$$

Съберете \frac{9}{2} и \frac{49}{16}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{121}{16}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{11}{4}$$

Съберете \frac{7}{4} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$