Решете x+1=x^2

$$x + 1 = x ^ { 2 }$$

Решаване за x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+1-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, 1 вместо b и 1 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 1 с 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, когато ± е плюс. Съберете -1 с \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделете -1+\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}, когато ± е минус. Извадете \sqrt{5} от -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Разделете -1-\sqrt{5} на -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+1-x^{2}=0$$

Извадете 1 и от двете страни. Нещо, извадено от нула, дава отрицателната му стойност.

$$x-x^{2}=-1$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Разделете 1 на -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Разделете -1 на -1.

$$x^{2}-x=1$$

Разделете -1 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{1}{2}. След това съберете квадрата на -\frac{1}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{1}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Съберете 1 с \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Разложете на множител x^{2}-x+\frac{1}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Съберете \frac{1}{2} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$