Решете x+1=(x+7)^2

$$x + 1 = ( x + 7 ) ^ { 2 }$$

Решаване за x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}\approx -6,5-2,397915762i$$

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}\approx -6,5+2,397915762i$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+7\right)^{2}.

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

Групирайте x и -14x, за да получите -13x.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

Извадете 49 и от двете страни.

$$-13x+1-x^{2}-49=0$$

Извадете 49 от 1, за да получите -48.

$$-13x-48-x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-x^{2}-13x-48=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -1 вместо a, -13 вместо b и -48 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Повдигане на квадрат на -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете -4 по -1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-48\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 4 по -48.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-192}}{2\left(-1\right)}$$

Съберете 169 с -192.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

Получете корен квадратен от -23.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Противоположното на -13 е 13.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножете 2 по -1.

$$x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}, когато ± е плюс. Съберете 13 с i\sqrt{23}.

$$x=\frac{13+\sqrt{23}i}{-2}$$

Разделете 13+i\sqrt{23} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$

Сега решете уравнението x=\frac{13±\sqrt{23}i}{-2}, когато ± е минус. Извадете i\sqrt{23} от 13.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+13}{-2}$$

Разделете 13-i\sqrt{23} на -2.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2} x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Използвайте Нютоновия бином \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, за да разложите \left(x+7\right)^{2}.

$$x+1=x^{2}+14x+49$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$x+1-x^{2}=14x+49$$

Извадете 14x и от двете страни.

$$x+1-x^{2}-14x=49$$

Групирайте x и -14x, за да получите -13x.

$$-13x+1-x^{2}=49$$

Извадете 1 и от двете страни.

$$-13x-x^{2}=49-1$$

Извадете 1 от 49, за да получите 48.

$$-13x-x^{2}=48$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-13x=48$$

Разделете двете страни на -1.

$$\frac{-x^{2}-13x}{-1}=\frac{48}{-1}$$

Делението на -1 отменя умножението по -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)x=\frac{48}{-1}$$

Разделете -13 на -1.

$$x^{2}+13x=\frac{48}{-1}$$

Разделете 48 на -1.

$$x^{2}+13x=-48$$

Разделете 13 – коефициента на члена на x – на 2, за да получите \frac{13}{2}. След това съберете квадрата на \frac{13}{2} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-48+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат \frac{13}{2}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-48+\frac{169}{4}$$

Съберете -48 с \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=-\frac{23}{4}$$

Разложете на множител x^{2}+13x+\frac{169}{4}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Опростявайте.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Извадете \frac{13}{2} и от двете страни на уравнението.

$$x=\frac{-13+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i-13}{2}$$