Решете x+sqrt{4x+1}=5

$$x + \sqrt { 4 x + 1 } = 5$$

Решаване за x

$$x=2$$

Стъпки на решението

Извадете x и от двете страни на уравнението.

$$\sqrt{4x+1}=5-x$$

Повдигнете на квадрат и двете страни на уравнението.

$$\left(\sqrt{4x+1}\right)^{2}=\left(5-x\right)^{2}$$

Изчислявате 2 на степен \sqrt{4x+1} и получавате 4x+1.

$$4x+1=\left(5-x\right)^{2}$$

Използвайте Нютоновия бином \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, за да разложите \left(5-x\right)^{2}.

$$4x+1=25-10x+x^{2}$$

Извадете 25 и от двете страни.

$$4x+1-25=-10x+x^{2}$$

Извадете 25 от 1, за да получите -24.

$$4x-24=-10x+x^{2}$$

Добавете 10x от двете страни.

$$4x-24+10x=x^{2}$$

Групирайте 4x и 10x, за да получите 14x.

$$14x-24=x^{2}$$

Извадете x^{2} и от двете страни.

$$14x-24-x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -x^{2}+ax+bx-24. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

Тъй като ab е положителна, a и b имат един и същ знак. Тъй като a+b е положителна, a и b са положителни. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават 24 на продукта.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Решението е двойката, която дава сума 14.

$$a=12 b=2$$

Напишете -x^{2}+14x-24 като \left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

Фактор, -x в първата и 2 във втората група.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

Разложете на множители общия член x-12, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете x-12=0 и -x+2=0.

$$x=12 x=2$$

Заместете 12 вместо x в уравнението x+\sqrt{4x+1}=5.

$$12+\sqrt{4\times 12+1}=5$$

Опростявайте. Стойността x=12 не отговаря на уравнението.

$$19=5$$

Заместете 2 вместо x в уравнението x+\sqrt{4x+1}=5.

$$2+\sqrt{4\times 2+1}=5$$

Опростявайте. Стойността x=2 отговаря на уравнението.

$$5=5$$

Уравнението \sqrt{4x+1}=5-x има уникално решение.

$$x=2$$