Решете x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Решаване за x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Стъпки с разлагане на множители чрез групиране

Умножете и двете страни на уравнението с 6 – най-малкия общ множител на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Групирайте 6x и 9x, за да получите 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Групирайте 15x и -2x, за да получите 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Съберете 3 и 4, за да се получи 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Извадете 6x^{2} и от двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Добавете 12 от двете страни.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Съберете 7 и 12, за да се получи 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Преобразувайте полинома в стандартна форма. Поставете членовете в ред от най-висока до най-ниска степен.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

За да се реши уравнението, коефициентът е от лявата страна по групи. Първо, лявата страна трябва да бъде пренаписана като -6x^{2}+ax+bx+19. За да намерите a и b, настройте система, която да бъде решена.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Тъй като ab е отрицателен, a и b имат противоположни знаци. Тъй като a+b е положително, положителното число има по-голяма абсолютна стойност от отрицателното. Изброяване на всички тези целочислени двойки, които придават -114 на продукта.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Изчислете сумата за всяка двойка.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Решението е двойката, която дава сума 13.

$$a=19 b=-6$$

Напишете -6x^{2}+13x+19 като \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Фактор, -x в първата и -1 във втората група.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Разложете на множители общия член 6x-19, като използвате разпределителното свойство.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

За да намерите решения за уравнение, решете 6x-19=0 и -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Стъпки с използване на формулата за квадратно уравнение

Умножете и двете страни на уравнението с 6 – най-малкия общ множител на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Групирайте 6x и 9x, за да получите 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Групирайте 15x и -2x, за да получите 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Съберете 3 и 4, за да се получи 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Извадете 6x^{2} и от двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Добавете 12 от двете страни.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Съберете 7 и 12, за да се получи 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Всички формули във форма ax^{2}+bx+c=0 може да се решат чрез използване на формулата за корени на квадратното уравнение: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Формулата за корени на квадратното уравнение дава две решения, когато ± е събиране, и едно, когато е изваждане.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Това уравнение е в стандартна форма: ax^{2}+bx+c=0. Заместете -6 вместо a, 13 вместо b и 19 вместо c във формулата на квадратното уравнение, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Повдигане на квадрат на 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Умножете -4 по -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Умножете 24 по 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Съберете 169 с 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Получете корен квадратен от 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Умножете 2 по -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±25}{-12}, когато ± е плюс. Съберете -13 с 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Разделете 12 на -12.

$$x=-1$$

Сега решете уравнението x=\frac{-13±25}{-12}, когато ± е минус. Извадете 25 от -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Намаляване на дробта \frac{-38}{-12} до най-малките членове чрез извличане на корен и съкращаване на 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Уравнението сега е решено.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Стъпки за допълване до пълен квадрат

Умножете и двете страни на уравнението с 6 – най-малкия общ множител на 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите 3 по 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Групирайте 6x и 9x, за да получите 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Използвайте дистрибутивното свойство, за да умножите -2 по x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Групирайте 15x и -2x, за да получите 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Съберете 3 и 4, за да се получи 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Извадете 6x^{2} и от двете страни.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Извадете 7 и от двете страни.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Извадете 7 от -12, за да получите -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Квадратни уравнения като това могат да бъде решени чрез допълване до пълен квадрат. За да допълните до пълен квадрат, уравнението трябва първо да бъде във форма x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Разделете двете страни на -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Делението на -6 отменя умножението по -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Разделете 13 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Разделете -19 на -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Разделете -\frac{13}{6} – коефициента на члена на x – на 2, за да получите -\frac{13}{12}. След това съберете квадрата на -\frac{13}{12} с двете страни на уравнението. С тази стъпка лявата страна на уравнението става точен квадрат.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Повдигнете на квадрат -\frac{13}{12}, като повдигнете на квадрат и числителя, и знаменателя на дробта.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Съберете \frac{19}{6} и \frac{169}{144}, като намерите общ знаменател и съберете числителите. След това съкращавате дробта до най-прости членове, ако е възможно.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Разложете на множител x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Като цяло, когато x^{2}+bx+c е точен квадрат, той винаги може да бъде разложен на множител като \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Получете корен квадратен от двете страни на равенството.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Опростявайте.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Съберете \frac{13}{12} към двете страни на уравнението.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$